يجيب توزيع الاحتمالات ذي الحدين على سؤال جوهري: إذا كان للحدث احتمال نجاح معروف، فما هو احتمال الحصول على عدد معين من النجاحات في عدد ثابت من المحاولات المستقلة؟ ينطبق هذا على مراقبة الجودة، والاختبارات الطبية، ورمي العملات المعدنية، وأي مكان تحدث فيه عدد ثابت من التجارب ذات نتيجتين (نعم/لا).
الصيغة
تحسب صيغة الاحتمالية ذات الحدين احتمال الحصول على k نجاح بالضبط في n من المحاولات المستقلة:
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
حيث:
- n = عدد المحاولات
- k = عدد النجاحات المطلوبة
- p = احتمال النجاح في كل محاولة
- C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — عدد التوافيق
C(n,k) يخبرك بعدد الطرق التي يمكنك بها ترتيب k نجاح في n محاولة.
مثال محلول
يأخذ مفتش الجودة عينة عشوائية من 10 مصابيح من دفعة معروف أن نسبة عيوبها 5%. ما هو احتمال أن تكون هناك 2 مصباح معيبان بالضبط؟
- n = 10 محاولات
- k = 2 نجاح (عيوب)
- p = 0.05 (معدل العيوب)
- 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 أو 7.46%
إذن هناك احتمال 7.46% للعثور على 2 مصباح معيب في تلك العينة.
الاحتمالات ذات الصلة
في أحيان كثيرة تريد الاحتمال التراكمي — "على الأكثر 2 عيب" أو "على الأقل 2 عيب":
- P(X ≤ k): اجمع كل الاحتمالات من 0 إلى k
- P(X ≥ k): اجمع كل الاحتمالات من k إلى n
بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n، يقترب التوزيع ذو الحدين من التوزيع الطبيعي، وهذا هو سبب استخدام درجات z وجداول التوزيع الطبيعي بدلاً منه.
متى تستخدم الاحتمالية ذات الحدين
استخدم هذا التوزيع عندما:
- يكون لديك عدد ثابت من المحاولات
- لكل محاولة نتيجتان (نجاح/فشل، معيب/جيد، نعم/لا)
- احتمال النجاح ثابت
- المحاولات مستقلة
تشمل التطبيقات الشائعة فعالية التجارب الدوائية، واستطلاعات الانتخابات، ومعدلات عيوب التصنيع، وتنبؤات نتائج الألعاب.
نصائح
تصبح صيغة الحدين ثقيلة حسابياً للقيم الكبيرة لـ n، لذا تعد الآلات الحاسبة والبرامج الإحصائية ضرورية. تذكر أيضاً أن هذا يفترض أحداثاً مستقلة باحتمال ثابت؛ فإذا انهارت هذه الافتراضات، ستكون النتيجة غير دقيقة.
استخدم حاسبة الاحتمالات ذات الحدين لدينا لحساب الاحتمالات فوراً دون حساب يدوي.