المعادلة التكعيبية هي متعددة حدود من الدرجة الثالثة، بالصيغة العامة ax³ + bx² + cx + d = 0. على عكس المعادلات التربيعية، يمكن أن يكون للمعادلات التكعيبية 1 أو 2 أو 3 حلول حقيقية.
الصيغة العامة
ax³ + bx² + cx + d = 0
حيث a ≠ 0. يمكن أن تكون الجذور:
- 3 جذور حقيقية مختلفة
- جذر حقيقي واحد وجذران مركبان مترافقان
- جذر مكرر (عندما يساوي المميز صفراً)
صيغة كاردانو
لاستخدام صيغة كاردانو، أولاً اكبت المعادلة (أزل حد x²) بالتعويض x = t - b/(3a):
t³ + pt + q = 0
ثم الجذور تُجد باستخدام:
Δ = -4p³ - 27q²
إذا Δ > 0: ثلاثة جذور حقيقية مختلفة إذا Δ = 0: جذران حقيقيان متساويان على الأقل إذا Δ < 0: جذر حقيقي واحد وجذران مركبان
مثال محلول
حل x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
باختبار x = 1: 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
لذا x = 1 جذر. بتحليل (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
الجذور الثلاثة: x = 1، 2، 3.
إيجاد الجذور بدون تحليل
للمعادلات التكعيبية التي لا تقبل التحليل بسهولة:
- صيغة كاردانو (دقيقة جبرياً لكن معقدة)
- الطرق العددية كنيوتن-رافسون
- الرسم البياني لتقدير الجذور
التطبيقات
تظهر المعادلات التكعيبية في:
- الهندسة (تحليل الإجهاد، ديناميكيات الموائع)
- الفيزياء (الحركة المقذوفة في وسط مقاوم)
- الاقتصاد (مسائل التحسين)
- رسومات الحاسوب (منحنيات بيزيه التكعيبية)
نصائح
إذا كنت تشك في جذور نسبية، استخدم نظرية الجذر النسبي. تحقق دائماً من الجذور بالتعويض.
استخدم حل المعادلات التكعيبية لإيجاد جميع الجذور فورياً.