القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) مفاهيم أساسية في نظرية الأعداد تُستخدم لتبسيط الكسور وحل المسائل.

التعريفات

القاسم المشترك الأكبر (GCD) — أكبر عدد صحيح موجب يقسم كلا العددين دون باقٍ.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) — أصغر عدد صحيح موجب قابل للقسمة على كلا العددين.

GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)

الطريقة 1: التحليل إلى عوامل أولية

مثال: GCD و LCM للعددين 36 و 48

  • 36 = 2² × 3²
  • 48 = 2⁴ × 3

GCD = 2² × 3¹ = 12 LCM = 2⁴ × 3² = 144

التحقق: 36 × 48 = 1,728 = 12 × 144 ✓

الطريقة 2: خوارزمية إقليدس

لـ GCD(a, b): اقسم a على b، ثم استبدل a بـ b و b بالباقي. كرر حتى يصبح الباقي 0.

مثال: GCD(48, 18)

  • 48 = 2 × 18 + 12
  • 18 = 1 × 12 + 6
  • 12 = 2 × 6 + 0

GCD = 6

التطبيقات العملية

  • تبسيط الكسور: 36/48 = 3/4 (القسمة على GCD 12)
  • إيجاد المقامات المشتركة باستخدام LCM
  • جدولة الأحداث ذات الفترات المختلفة