ما هو الانحدار الخطي؟

الانحدار الخطي هو أسلوب إحصائي يُستخدم لنمذجة العلاقة بين متغير مستقل (x) ومتغير تابع (y). والهدف هو إيجاد أفضل خط مستقيم يمر عبر نقاط البيانات.

المعادلة العامة لخط الانحدار:

y = mx + b

حيث:

  • m هو الميل (مقدار تغيّر y لكل وحدة تغيّر في x)
  • b هو قاطع المحور y (قيمة y عندما يكون x = 0)

صيغ الحساب

لإيجاد الميل m:

m = (nΣxy − ΣxΣy) / (nΣx² − (Σx)²)

لإيجاد قاطع المحور y b:

b = (Σy − mΣx) / n

حيث n هو عدد نقاط البيانات.

مثال محلول

لنفترض أن لديك مجموعة البيانات التالية:

x y xy x²
1 2 2 1
2 4 8 4
3 5 15 9
4 4 16 16
5 5 25 25
Σ=15 Σ=20 Σ=66 Σ=55

الخطوة 1: احسب الميل m

m = (5×66 − 15×20) / (5×55 − 15²) m = (330 − 300) / (275 − 225) m = 30 / 50 m = 0.6

الخطوة 2: احسب قاطع المحور b

b = (20 − 0.6×15) / 5 b = (20 − 9) / 5 b = 11 / 5 b = 2.2

النتيجة: y = 0.6x + 2.2

تفسير النتائج

الميل (m = 0.6): يعني أن قيمة y تزداد بمقدار 0.6 لكل وحدة زيادة في x.

القاطع (b = 2.2): يعني أن الخط يقطع محور y عند النقطة 2.2، أي أن قيمة y تساوي 2.2 عندما يكون x = 0.

معامل التحديد R²: يقيس مدى ملاءمة خط الانحدار للبيانات، تتراوح قيمته بين 0 و1.

تطبيقات الانحدار الخطي

  • التنبؤ بالمبيعات بناءً على الإنفاق الإعلاني
  • تقدير أسعار المنازل بناءً على المساحة
  • تحليل العلاقة بين الدراسة والدرجات
  • التنبؤ بنمو السكان عبر الزمن