المحدد هو قيمة عددية يمكن حسابها من مصفوفة مربعة. يظهر في الجبر الخطي عند حل أنظمة المعادلات، وإيجاد مقلوب المصفوفة، وفهم التحولات الخطية. إذا كان المحدد صفراً، فإن المصفوفة "مفردة" وليس لها مقلوب.

محدد المصفوفة 2×2

للمصفوفة:

|a  b|
|c  d|

المحدد = ad − bc

مثال: det([[3, 1], [5, 2]]) = (3×2) − (1×5) = 6 − 5 = 1

محدد المصفوفة 3×3 (التوسيع بالمرافقات)

للمصفوفة:

|a  b  c|
|d  e  f|
|g  h  i|

المحدد = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

مثال:

|2  1  3|
|0  4  1|
|5  2  6|

المحدد = 2(4×6 − 1×2) − 1(0×6 − 1×5) + 3(0×2 − 4×5) = 2(24 − 2) − 1(0 − 5) + 3(0 − 20) = 2(22) − 1(−5) + 3(−20) = 44 + 5 − 60 = −11

خصائص المحددات

  • det(AB) = det(A) × det(B)
  • det(Aᵀ) = det(A)
  • تبديل صفين يغير إشارة المحدد
  • إذا كان صفان متطابقان، المحدد = 0
  • ضرب صف بـ k يضرب المحدد بـ k

استخدم حاسبة محدد المصفوفة لأي مصفوفة مربعة.