En kubisk ligning er et polynom af grad 3 med formen ax³ + bx² + cx + d = 0. I modsætning til andengradsligning kan den have 1, 2 eller 3 reelle løsninger.
Den Generelle Form
ax³ + bx² + cx + d = 0
Hvor a ≠ 0. Ligningen kan have:
- 3 forskellige reelle rødder
- 1 reel og 2 komplekst konjugerede rødder
- En gentaget rod (diskriminant lig nul)
Cardanos Formel
Deprimér ligningen (eliminer x²) ved x = t - b/(3a):
t³ + pt + q = 0
Diskriminant: Δ = -4p³ - 27q²
Δ > 0: tre reelle rødder; Δ = 0: mindst to ens; Δ < 0: én reel og to komplekse.
Løst Eksempel
Løs x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Test x = 1: 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
Faktorisering: (x-1)(x-2)(x-3) = 0 → x = 1, 2, 3.
Metoder uden Faktorisering
- Cardanos formel (algebraisk præcis, men kompleks)
- Numeriske metoder (Newton-Raphson)
- Grafisk estimation
Anvendelser
- Ingeniørfag (spændingsanalyse, fluiddynamik)
- Fysik (bevægelse i modstand)
- Økonomi (optimeringsproblemer)
- Computergrafik (kubiske Bézierkurver)
Tips
Brug sætningen om rationelle rødder til at indsnævre kandidater. Verificer altid ved indsætning.
Brug vores Kubisk Ligningsløser.