Die Binomialverteilung beantwortet eine grundlegende Frage: Wenn ein Ereignis eine bekannte Erfolgswahrscheinlichkeit hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche zu erzielen? Dies gilt für Qualitätskontrolle, medizinische Tests, Münzwürfe und überall dort, wo eine feste Anzahl von Ja/Nein-Versuchen stattfindet.

Die Formel

Die Binomialwahrscheinlichkeitsformel berechnet die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen in n unabhängigen Versuchen:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Dabei ist:

  • n = Anzahl der Versuche
  • k = gewünschte Anzahl der Erfolge
  • p = Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — die Anzahl der Kombinationen

C(n,k) gibt an, auf wie viele Arten k Erfolge in n Versuchen angeordnet werden können.

Rechenbeispiel

Ein Qualitätsprüfer entnimmt zufällig 10 Glühbirnen aus einer Charge, von der bekannt ist, dass sie eine Fehlerrate von 5% hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Birnen defekt sind?

  • n = 10 Versuche
  • k = 2 Erfolge (Defekte)
  • p = 0.05 (Fehlerrate)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 oder 7,46 %

Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 7,46 %, genau 2 defekte Birnen in der Stichprobe zu finden.

Verwandte Wahrscheinlichkeiten

Oft möchte man die kumulative Wahrscheinlichkeit — „höchstens 2 Defekte" oder „mindestens 2 Defekte":

  • P(X ≤ k): Alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k aufaddieren
  • P(X ≥ k): Alle Wahrscheinlichkeiten von k bis n aufaddieren

Für große n nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an, weshalb stattdessen häufig z-Werte und Normaltabellen verwendet werden.

Wann Binomialwahrscheinlichkeit Verwendet Werden Sollte

Diese Verteilung verwenden, wenn:

  • Eine feste Anzahl von Versuchen vorliegt
  • Jeder Versuch zwei Ergebnisse hat (Erfolg/Misserfolg, defekt/gut, ja/nein)
  • Die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant ist
  • Die Versuche unabhängig sind

Häufige Anwendungen sind die Wirksamkeit von Arzneimittelstudien, Wahlumfragen, Fehlerquoten in der Fertigung und Spielergebnisvorhersagen.

Tipps

Die Binomialformel wird für große n rechnerisch aufwendig — Taschenrechner und Statistiksoftware sind unerlässlich. Beachten Sie außerdem, dass unabhängige Ereignisse mit konstanter Wahrscheinlichkeit vorausgesetzt werden; wenn diese Annahmen nicht zutreffen, ist das Ergebnis ungenau.

Nutzen Sie unseren Binomialwahrscheinlichkeitsrechner, um Wahrscheinlichkeiten sofort ohne manuelle Berechnung zu ermitteln.