Eine kubische Gleichung ist ein Polynom 3. Grades der Form ax³ + bx² + cx + d = 0. Im Gegensatz zu quadratischen Gleichungen kann sie 1, 2 oder 3 reelle Lösungen haben.
Allgemeine Form
ax³ + bx² + cx + d = 0
Wobei a ≠ 0. Die Gleichung kann haben:
- 3 verschiedene reelle Wurzeln
- 1 reelle und 2 komplex konjugierte Wurzeln
- Eine mehrfache Wurzel (Diskriminante gleich null)
Cardanos Formel
Deprimieren Sie die kubische Gleichung (eliminieren Sie x²) durch x = t - b/(3a):
t³ + pt + q = 0
Diskriminante: Δ = -4p³ - 27q²
Δ > 0: drei verschiedene reelle Wurzeln; Δ = 0: mindestens zwei gleiche; Δ < 0: eine reelle und zwei komplexe.
Lösungsbeispiel
Lösen Sie x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Test x = 1: 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
Faktorisierung: (x-1)(x-2)(x-3) = 0 → x = 1, 2, 3.
Methoden ohne Faktorisierung
- Cardanos Formel (algebraisch exakt, aber komplex)
- Numerische Methoden (Newton-Raphson)
- Grafische Schätzung
Anwendungen
- Ingenieurwesen (Spannungsanalyse, Strömungsdynamik)
- Physik (Bewegung im Widerstandsmedium)
- Wirtschaft (Optimierungsaufgaben)
- Computergrafik (kubische Bézier-Kurven)
Tipps
Für rationale Wurzeln nutzen Sie den Rationalen-Wurzel-Satz. Überprüfen Sie Wurzeln immer durch Einsetzen.
Nutzen Sie unseren Kubischen Gleichungslöser.