Definition des Absolutbetrags
Der Absolutbetrag einer Zahl ist ihr Abstand von null auf der Zahlengeraden, unabhängig von der Richtung. Der Absolutbetrag von x wird als |x| geschrieben.
Mathematische Definition:
|x| = x wenn x ≥ 0 |x| = -x wenn x < 0
Grundlegende Beispiele
Berechnen wir den Absolutbetrag verschiedener Zahlen:
- |5| = 5 (positive Zahl bleibt sich selbst)
- |-5| = 5 (negative Zahl wird positiv)
- |0| = 0 (null bleibt null)
- |-3,7| = 3,7 (funktioniert auch mit Dezimalzahlen)
- |8 - 12| = |-4| = 4 (zuerst das Innere berechnen)
Lösung von Gleichungen mit Absolutbetrag
Gleichung: |x| = 7
Wenn der Absolutbetrag gleich einer positiven Zahl ist, gibt es zwei Fälle:
x = 7 oder x = -7
Überprüfung:
- |7| = 7 ✓
- |-7| = 7 ✓
Gleichung: |2x - 3| = 11
Schritt 1: Zwei Fälle aufstellen 2x - 3 = 11 oder 2x - 3 = -11
Schritt 2: Jeden Fall lösen
- Fall 1: 2x = 14, also x = 7
- Fall 2: 2x = -8, also x = -4
Schritt 3: Überprüfen
- |2(7) - 3| = |11| = 11 ✓
- |2(-4) - 3| = |-11| = 11 ✓
Ungleichungen mit Absolutbetrag
Ungleichung: |x| < 5 Bedeutet: die Zahl liegt zwischen -5 und 5 Lösung: -5 < x < 5
Ungleichung: |x| > 3 Bedeutet: die Zahl ist mehr als 3 von null entfernt Lösung: x < -3 oder x > 3
Praktische Anwendungen
- Physik: Messung von Verschiebungen ohne Berücksichtigung der Richtung
- Statistik: Berechnung der absoluten Abweichung vom Mittelwert
- Programmierung: Berechnung des absoluten Unterschieds zwischen zwei Werten
- Geometrie: Messung von Abständen in der Koordinatenebene