Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel, die immer genau 180° ergeben. Mit diesem Wissen und den Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln kannst du unbekannte Winkel in jedem Dreieck berechnen.
Die Grundregel
Winkel A + Winkel B + Winkel C = 180°
Wenn du zwei Winkel kennst, ergibt sich der dritte immer aus:
Winkel C = 180° − Winkel A − Winkel B
Winkel mit dem Kosinussatz Berechnen
Wenn alle drei Seiten bekannt sind (SSS), verwende den Kosinussatz:
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)
Dabei sind a, b, c die Seitenlängen gegenüber den Winkeln A, B, C.
Schritt-für-Schritt-Beispiel (SSS)
Ein Dreieck hat die Seiten a = 7, b = 5, c = 8. Berechne Winkel A.
- Kosinussatz anwenden: cos(A) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8)
- Zähler berechnen: 25 + 64 − 49 = 40
- Nenner berechnen: 80
- cos(A) = 40/80 = 0,5
- A = arccos(0,5) = 60°
Winkel mit dem Sinussatz Berechnen
Wenn ein Winkel und seine gegenüberliegende Seite bekannt sind:
sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c
Sonderfall: Rechtwinkliges Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck (mit einem 90°-Winkel) kannst du die Grundtrigonometrie nutzen:
tan(θ) = Gegenkathete / Ankathete
sin(θ) = Gegenkathete / Hypotenuse
cos(θ) = Ankathete / Hypotenuse
Praktische Anwendungen
- Bauwesen: Berechnung von Dachneigungen und Sparrenschnitten
- Navigation: Triangulation zur Positionsbestimmung
- Physik: Zerlegung von Kraftvektoren in Komponenten
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