Die Grundregel für Potenzen
Eine Potenz bedeutet, eine Zahl wiederholt mit sich selbst zu multiplizieren:
aⁿ = a × a × a × ... (n Mal)
Wobei a die Basis und n der Exponent ist.
Schritt-für-Schritt-Beispiele
Beispiel 1: Berechnung von 3⁴
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 = 81
Beispiel 2: Berechnung von 2⁸
2⁸ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 4 × 4 × 4 × 4 = 16 × 16 = 256
Beispiel 3: Berechnung von 5³
5³ = 5 × 5 × 5 = 25 × 5 = 125
Potenzgesetze
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produktregel | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quotientenregel | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27 |
| Potenzen von Potenzen | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Nullexponent | a⁰ = 1 | 5⁰ = 1 |
| Negativer Exponent | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Gebrochener Exponent | a^(1/n) = ⁿ√a | 8^(1/3) = 2 |
Methode der wiederholten Quadrierung für 2¹⁰
Bei großen Exponenten verwenden wir wiederholte Quadrierung:
Berechnung von 2¹⁰:
Schritt 1: 2¹ = 2 Schritt 2: 2² = 4 (2 × 2) Schritt 3: 2⁴ = 16 (4 × 4) Schritt 4: 2⁸ = 256 (16 × 16) Schritt 5: 2¹⁰ = 2⁸ × 2² = 256 × 4 = 1024
Diese Methode reduziert die Anzahl der Multiplikationen von 9 auf nur 4 — eine große Einsparung!