GGT und KGV sind grundlegende Konzepte der Zahlentheorie, die zum Vereinfachen von Brüchen und Lösen von Problemen verwendet werden.

Definitionen

GGT (Größter Gemeinsamer Teiler) ist die größte positive ganze Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.

KGV (Kleinstes Gemeinsames Vielfaches) ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist.

GGT(a, b) × KGV(a, b) = a × b
KGV(a, b) = (a × b) ÷ GGT(a, b)

Methode 1: Primfaktorzerlegung

Beispiel: GGT und KGV von 36 und 48

  • 36 = 2² × 3²
  • 48 = 2⁴ × 3

GGT = 2² × 3¹ = 12 KGV = 2⁴ × 3² = 144

Überprüfung: 36 × 48 = 1.728 = 12 × 144 ✓

Methode 2: Euklidischer Algorithmus

Für GGT(a, b): Teile a durch b, ersetze a durch b und b durch den Rest. Wiederholen bis Rest 0.

Beispiel: GGT(48, 18)

  • 48 = 2 × 18 + 12
  • 18 = 1 × 12 + 6
  • 12 = 2 × 6 + 0

GGT = 6

Praktische Anwendungen

  • Brüche kürzen: 36/48 = 3/4 (dividiert durch GGT 12)
  • Gemeinsame Nenner mit KGV finden
  • Ereignisse mit unterschiedlichen Intervallen planen