La distribución de probabilidad binomial responde a una pregunta fundamental: si un evento tiene una probabilidad de éxito conocida, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente cierto número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes? Esto se aplica al control de calidad, las pruebas médicas, el lanzamiento de monedas y en cualquier lugar donde ocurra un número fijo de ensayos de sí/no.

La Fórmula

La fórmula de probabilidad binomial calcula la probabilidad de exactamente k éxitos en n ensayos independientes:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Donde:

  • n = número de ensayos
  • k = número de éxitos deseados
  • p = probabilidad de éxito en cada ensayo
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — el número de combinaciones

C(n,k) indica cuántas formas puedes ordenar k éxitos entre n ensayos.

Ejemplo Resuelto

Un inspector de calidad muestrea aleatoriamente 10 bombillas de un lote con una tasa de defectos del 5% conocida. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 bombillas sean defectuosas?

  • n = 10 ensayos
  • k = 2 éxitos (defectos)
  • p = 0.05 (tasa de defectos)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 o 7.46%

Hay un 7.46% de probabilidad de encontrar exactamente 2 bombillas defectuosas en esa muestra.

Probabilidades Relacionadas

A menudo querrás la probabilidad acumulada — "como máximo 2 defectos" o "al menos 2 defectos":

  • P(X ≤ k): Suma todas las probabilidades de 0 a k
  • P(X ≥ k): Suma todas las probabilidades de k a n

Para n grande, la distribución binomial se aproxima a la distribución normal, por eso a menudo se usan puntajes z y tablas normales en su lugar.

Cuándo Usar Probabilidad Binomial

Usa esta distribución cuando:

  • Tienes un número fijo de ensayos
  • Cada ensayo tiene dos resultados (éxito/fracaso, defectuoso/bueno, sí/no)
  • La probabilidad de éxito es constante
  • Los ensayos son independientes

Las aplicaciones comunes incluyen eficacia de ensayos de medicamentos, encuestas electorales, tasas de defectos en fabricación y predicciones de resultados de juegos.

Consejos

La fórmula binomial se vuelve computacionalmente pesada para n grande — las calculadoras y el software estadístico son esenciales. Recuerda también que esto asume eventos independientes con probabilidad constante; si esas suposiciones fallan, el resultado será inexacto.

Usa nuestra calculadora de probabilidad binomial para calcular probabilidades al instante sin cálculo manual.