Binomijakauma vastaa perustavanlaatuiseen kysymykseen: jos tapahtumalla on tunnettu onnistumistodennäköisyys, mikä on todennäköisyys saada täsmälleen tietty määrä onnistumisia kiinteässä määrässä riippumattomia kokeita? Tätä sovelletaan laadunvalvonnassa, lääketieteellisissä testeissä, kolikonheitoissa ja kaikkialla, missä suoritetaan kiinteä määrä kyllä/ei-kokeita.
Kaava
Binomitodennäköisyyskaava laskee todennäköisyyden täsmälleen k onnistumiselle n riippumattomassa kokeessa:
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
Missä:
- n = kokeiden lukumäärä
- k = haluttu onnistumisten lukumäärä
- p = onnistumistodennäköisyys kussakin kokeessa
- C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — kombinaatioiden lukumäärä
C(n,k) kertoo, kuinka monella tavalla k onnistumista voidaan järjestää n kokeen joukossa.
Ratkaistu Esimerkki
Laaduntarkastaja ottaa satunnaisesti 10 hehkulamppua erästä, jonka vikaprosentti on tiedossa olevan 5%. Mikä on todennäköisyys, että täsmälleen 2 lamppua on viallisia?
- n = 10 koetta
- k = 2 onnistumista (viat)
- p = 0.05 (vikaprosentti)
- 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 eli 7,46 %
Täsmälleen 2 viallisen lampun löytymisen todennäköisyys kyseisessä otoksessa on siis 7,46 %.
Liittyvät Todennäköisyydet
Usein haluat kumulatiivisen todennäköisyyden — "enintään 2 vikaa" tai "vähintään 2 vikaa":
- P(X ≤ k): Laske yhteen kaikki todennäköisyydet 0:sta k:hon
- P(X ≥ k): Laske yhteen kaikki todennäköisyydet k:sta n:ään
Suurella n binomijakauma lähestyy normaalijakaumaa, minkä vuoksi z-pisteitä ja normaalitaulukoita käytetään sen sijaan.
Milloin Käyttää Binomitodennäköisyyttä
Käytä tätä jakaumaa, kun:
- Sinulla on kiinteä määrä kokeita
- Jokaisella kokeella on kaksi tulosta (onnistuminen/epäonnistuminen, viallinen/hyvä, kyllä/ei)
- Onnistumistodennäköisyys on vakio
- Kokeet ovat riippumattomia
Yleisiä sovelluksia ovat lääkekokeiden tehokkuus, vaalitutkimukset, valmistuksen vikaprosentit ja pelitulosennusteet.
Vinkkejä
Binomikaava muuttuu laskennallisesti raskaaksi suurella n — laskimet ja tilasto-ohjelmistot ovat välttämättömiä. Muista myös, että tämä olettaa riippumattomia tapahtumia vakiotodennäköisyydellä; jos nämä oletukset rikkoutuvat, tulos on epätarkka.
Käytä binomitodennäköisyyslaskuriamme laskemaan todennäköisyydet välittömästi ilman manuaalista laskentaa.