Itseisarvon määritelmä

Luvun itseisarvo on sen etäisyys nollasta lukusuoralla, suunnasta riippumatta. Luvun x itseisarvo kirjoitetaan |x|.

Matemaattinen määritelmä:

|x| = x jos x ≥ 0 |x| = -x jos x < 0

Perusesimerkkejä

Lasketaan eri lukujen itseisarvot:

  1. |5| = 5 (positiivinen luku pysyy itsellään)
  2. |-5| = 5 (negatiivinen luku muuttuu positiiviseksi)
  3. |0| = 0 (nolla pysyy nollana)
  4. |-3,7| = 3,7 (toimii myös desimaaliluvuilla)
  5. |8 - 12| = |-4| = 4 (laske sisäpuoli ensin)

Itseisarvojen yhtälöiden ratkaiseminen

Yhtälö: |x| = 7

Kun itseisarvo on yhtä suuri kuin positiivinen luku, on kaksi tapausta:

x = 7 tai x = -7

Tarkistus:

  • |7| = 7 ✓
  • |-7| = 7 ✓

Yhtälö: |2x - 3| = 11

Askel 1: Aseta kaksi tapausta 2x - 3 = 11 tai 2x - 3 = -11

Askel 2: Ratkaise kumpikin tapaus

  • Tapaus 1: 2x = 14, siis x = 7
  • Tapaus 2: 2x = -8, siis x = -4

Askel 3: Tarkista

  • |2(7) - 3| = |11| = 11 ✓
  • |2(-4) - 3| = |-11| = 11 ✓

Epäyhtälöt itseisarvon kanssa

Epäyhtälö: |x| < 5 Tarkoittaa: luku on välillä -5 ja 5 Ratkaisu: -5 < x < 5

Epäyhtälö: |x| > 3 Tarkoittaa: luku on yli 3 nollasta Ratkaisu: x < -3 tai x > 3

Käytännön sovellukset

  • Fysiikka: Siirtymän mittaaminen ilman suunnan huomioimista
  • Tilastotiede: Absoluuttisen poikkeaman laskeminen keskiarvosta
  • Ohjelmointi: Kahden arvon absoluuttisen eron löytäminen
  • Geometria: Etäisyyksien mittaaminen koordinaatistossa