Définition de la valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre est sa distance par rapport à zéro sur la droite numérique, indépendamment de la direction. La valeur absolue de x s'écrit |x|.
Définition mathématique :
|x| = x si x ≥ 0 |x| = -x si x < 0
Exemples de base
Calculons la valeur absolue de différents nombres :
- |5| = 5 (le nombre positif reste lui-même)
- |-5| = 5 (le nombre négatif devient positif)
- |0| = 0 (zéro reste zéro)
- |-3,7| = 3,7 (fonctionne aussi avec les décimales)
- |8 - 12| = |-4| = 4 (évaluez d'abord l'intérieur)
Résolution d'équations avec valeur absolue
Équation : |x| = 7
Quand la valeur absolue est égale à un nombre positif, il y a deux cas :
x = 7 ou x = -7
Vérification :
- |7| = 7 ✓
- |-7| = 7 ✓
Équation : |2x - 3| = 11
Étape 1 : Posez les deux cas 2x - 3 = 11 ou 2x - 3 = -11
Étape 2 : Résolvez chaque cas
- Cas 1 : 2x = 14, donc x = 7
- Cas 2 : 2x = -8, donc x = -4
Étape 3 : Vérifiez
- |2(7) - 3| = |11| = 11 ✓
- |2(-4) - 3| = |-11| = 11 ✓
Inégalités avec valeur absolue
Inégalité : |x| < 5 Signifie : le nombre est compris entre -5 et 5 Solution : -5 < x < 5
Inégalité : |x| > 3 Signifie : le nombre est à plus de 3 de zéro Solution : x < -3 ou x > 3
Applications pratiques
- Physique : Mesure du déplacement sans tenir compte de la direction
- Statistiques : Calcul de l'écart absolu par rapport à la moyenne
- Programmation : Trouver la différence absolue entre deux valeurs
- Géométrie : Mesure des distances dans le plan de coordonnées