Le PGCD et le PPCM sont des concepts fondamentaux de la théorie des nombres utilisés pour simplifier les fractions et résoudre des problèmes.
Définitions
PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand entier positif qui divise les deux nombres sans reste.
PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit entier positif divisible par les deux nombres.
PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
PPCM(a, b) = (a × b) ÷ PGCD(a, b)
Méthode 1 : Factorisation en nombres premiers
Exemple : PGCD et PPCM de 36 et 48
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
PGCD = 2² × 3¹ = 12 PPCM = 2⁴ × 3² = 144
Vérification : 36 × 48 = 1 728 = 12 × 144 ✓
Méthode 2 : Algorithme d'Euclide
Pour PGCD(a, b) : divisez a par b, remplacez a par b et b par le reste. Répétez jusqu'à ce que le reste soit 0.
Exemple : PGCD(48, 18)
- 48 = 2 × 18 + 12
- 18 = 1 × 12 + 6
- 12 = 2 × 6 + 0
PGCD = 6
Applications pratiques
- Simplifier des fractions : 36/48 = 3/4 (divisé par PGCD 12)
- Trouver des dénominateurs communs avec le PPCM
- Planifier des événements survenant à des intervalles différents