二項確率分布は根本的な問いに答えます：ある事象の成功確率が既知の場合、一定回数の独立した試行で正確に特定の回数だけ成功する確率はどれくらいか？これは品質管理、医療検査、コイン投げ、そして固定回数のはい/いいえの試行が行われる場面全般に適用されます。

公式

二項確率の公式は、n回の独立した試行でちょうどk回成功する確率を計算します：

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

ここで：

  • n = 試行回数
  • k = 求める成功回数
  • p = 各試行における成功確率
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — 組み合わせの数

C(n,k) は、n回の試行の中でk回の成功を並べる方法の数を示します。

解答例

品質検査員が、不良率5%として知られるロットから電球を10個無作為抽出します。ちょうど2個が不良品である確率は何ですか？

  • n = 10（試行回数）
  • k = 2（成功回数：不良品）
  • p = 0.05（不良率）
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746（7.46%）

つまり、そのサンプルでちょうど2個の不良品が見つかる確率は7.46%です。

関連確率

「2個以下の不良品」や「2個以上の不良品」など、累積確率が必要な場合もよくあります：

  • P(X ≤ k)： 0からkまでのすべての確率を合計する
  • P(X ≥ k)： kからnまでのすべての確率を合計する

nが大きい場合、二項分布は正規分布に近似するため、zスコアや正規分布表がよく使われます。

二項確率を使う場面

次の条件を満たす場合にこの分布を使用します：

  • 試行回数が一定である
  • 各試行に2つの結果がある（成功/失敗、不良/良品、はい/いいえ）
  • 成功確率が一定である
  • 試行が独立している

よくある応用例には、薬効試験の有効性、選挙調査、製造不良率、ゲーム結果の予測などがあります。

ヒント

nが大きくなると二項公式の計算は重くなります——計算機や統計ソフトウェアが欠かせません。また、この公式は確率が一定の独立事象を前提としていることを忘れずに；これらの仮定が崩れると結果は不正確になります。

手動計算なしに確率を瞬時に求めるには、二項確率計算ツールをご利用ください。