行列式は正方行列から計算できるスカラー値です。線形代数において方程式系の解法、逆行列の計算、線形変換の理解に現れます。行列式がゼロの場合、行列は「特異」であり逆行列を持ちません。

2×2行列の行列式

行列：

|a  b|
|c  d|

det = ad − bc

例： det([[3, 1], [5, 2]]) = (3×2) − (1×5) = 6 − 5 = 1

3×3行列の行列式（余因子展開）

行列：

|a  b  c|
|d  e  f|
|g  h  i|

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

例：

|2  1  3|
|0  4  1|
|5  2  6|

det = 2(4×6 − 1×2) − 1(0×6 − 1×5) + 3(0×2 − 4×5) = 2(24 − 2) − 1(0 − 5) + 3(0 − 20) = 2(22) − 1(−5) + 3(−20) = 44 + 5 − 60 = −11

行列式の性質

  • det(AB) = det(A) × det(B)
  • det(Aᵀ) = det(A)
  • 2つの行を入れ替えると行列式の符号が変わる
  • 2つの行が同一の場合、det = 0
  • ある行をkで掛けると行列式もkで掛けられる

任意の正方行列について、行列式計算機をご利用ください。