이항 확률 분포는 근본적인 질문에 답합니다: 어떤 사건이 알려진 성공 확률을 가질 때, 고정된 횟수의 독립 시행에서 정확히 특정 횟수만큼 성공할 확률은 얼마인가요? 이는 품질 관리, 의학 검사, 동전 던지기, 그리고 고정 횟수의 예/아니오 시행이 발생하는 모든 곳에 적용됩니다.

공식

이항 확률 공식은 n번의 독립 시행에서 정확히 k번 성공할 확률을 계산합니다:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

여기서:

  • n = 시행 횟수
  • k = 원하는 성공 횟수
  • p = 각 시행의 성공 확률
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — 조합의 수

**C(n,k)**는 n번의 시행 중 k번의 성공을 배열할 수 있는 방법의 수를 나타냅니다.

풀이 예제

품질 검사원이 불량률이 5%로 알려진 배치에서 전구 10개를 무작위로 추출합니다. 정확히 2개가 불량품일 확률은 얼마인가요?

  • n = 10 시행
  • k = 2 성공 (불량품)
  • p = 0.05 (불량률)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 즉 7.46%

따라서 해당 샘플에서 정확히 2개의 불량 전구를 발견할 확률은 7.46%입니다.

관련 확률

종종 누적 확률이 필요합니다 — "최대 2개 불량" 또는 "최소 2개 불량":

  • P(X ≤ k): 0부터 k까지 모든 확률을 합산
  • P(X ≥ k): k부터 n까지 모든 확률을 합산

n이 클 경우 이항 분포는 정규 분포에 근사하므로, 대신 z-점수와 정규 분포표를 사용하는 경우가 많습니다.

이항 확률을 사용하는 경우

다음 조건이 충족될 때 이 분포를 사용합니다:

  • 고정된 횟수의 시행이 있다
  • 각 시행에 두 가지 결과가 있다 (성공/실패, 불량/양품, 예/아니오)
  • 성공 확률이 일정하다
  • 시행이 독립적이다

일반적인 응용에는 의약품 시험 효능, 선거 여론조사, 제조 불량률, 게임 결과 예측 등이 포함됩니다.

팁

이항 공식은 n이 커질수록 계산이 복잡해집니다 — 계산기와 통계 소프트웨어가 필수입니다. 또한 이 공식은 일정한 확률의 독립 사건을 가정함을 기억하세요; 이 가정이 무너지면 결과가 부정확해집니다.

수동 계산 없이 즉시 확률을 계산하려면 이항 확률 계산기를 사용하세요.