Dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa odpowiada na fundamentalne pytanie: jeśli zdarzenie ma znane prawdopodobieństwo sukcesu, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie określonej liczby sukcesów w stałej liczbie niezależnych prób? Dotyczy to kontroli jakości, badań medycznych, rzutów monetą i wszędzie tam, gdzie przeprowadza się stałą liczbę prób tak/nie.

Wzór

Wzór prawdopodobieństwa dwumianowego oblicza prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n niezależnych próbach:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Gdzie:

  • n = liczba prób
  • k = pożądana liczba sukcesów
  • p = prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — liczba kombinacji

C(n,k) mówi, na ile sposobów można rozmieścić k sukcesów wśród n prób.

Rozwiązany Przykład

Inspektor jakości losowo pobiera próbkę 10 żarówek z partii, o której wiadomo, że ma 5% odsetek wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 żarówki są wadliwe?

  • n = 10 prób
  • k = 2 sukcesy (wady)
  • p = 0.05 (odsetek wad)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 czyli 7.46%

Jest więc 7.46% szans na znalezienie dokładnie 2 wadliwych żarówek w tej próbce.

Powiązane Prawdopodobieństwa

Często potrzebne jest prawdopodobieństwo skumulowane — "co najwyżej 2 wady" lub "co najmniej 2 wady":

  • P(X ≤ k): Zsumuj wszystkie prawdopodobieństwa od 0 do k
  • P(X ≥ k): Zsumuj wszystkie prawdopodobieństwa od k do n

Dla dużego n rozkład dwumianowy przybliża rozkład normalny, dlatego zamiast niego często używa się wyników z i tabel normalnych.

Kiedy Stosować Prawdopodobieństwo Dwumianowe

Użyj tego rozkładu, gdy:

  • Masz stałą liczbę prób
  • Każda próba ma dwa wyniki (sukces/porażka, wadliwy/dobry, tak/nie)
  • Prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe
  • Próby są niezależne

Typowe zastosowania obejmują skuteczność badań klinicznych, sondaże wyborcze, wskaźniki wad produkcji i prognozy wyników gier.

Wskazówki

Wzór dwumianowy staje się obliczeniowo ciężki dla dużego n — niezbędne są kalkulatory i oprogramowanie statystyczne. Pamiętaj też, że zakłada on niezależne zdarzenia o stałym prawdopodobieństwie; jeśli te założenia zawiodą, wynik będzie niedokładny.

Użyj naszego kalkulatora prawdopodobieństwa dwumianowego, aby natychmiast obliczyć prawdopodobieństwa bez ręcznych obliczeń.