Definicja wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej, niezależnie od kierunku. Wartość bezwzględna x zapisywana jest jako |x|.
Matematyczna definicja:
|x| = x jeśli x ≥ 0 |x| = -x jeśli x < 0
Podstawowe przykłady
Obliczmy wartość bezwzględną różnych liczb:
- |5| = 5 (liczba dodatnia pozostaje sobą)
- |-5| = 5 (liczba ujemna staje się dodatnia)
- |0| = 0 (zero pozostaje zerem)
- |-3,7| = 3,7 (działa też z ułamkami dziesiętnymi)
- |8 - 12| = |-4| = 4 (najpierw oblicz wnętrze)
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną
Równanie: |x| = 7
Gdy wartość bezwzględna jest równa liczbie dodatniej, istnieją dwa przypadki:
x = 7 lub x = -7
Weryfikacja:
- |7| = 7 ✓
- |-7| = 7 ✓
Równanie: |2x - 3| = 11
Krok 1: Ustaw dwa przypadki 2x - 3 = 11 lub 2x - 3 = -11
Krok 2: Rozwiąż każdy przypadek
- Przypadek 1: 2x = 14, więc x = 7
- Przypadek 2: 2x = -8, więc x = -4
Krok 3: Zweryfikuj
- |2(7) - 3| = |11| = 11 ✓
- |2(-4) - 3| = |-11| = 11 ✓
Nierówności z wartością bezwzględną
Nierówność: |x| < 5 Oznacza: liczba leży między -5 a 5 Rozwiązanie: -5 < x < 5
Nierówność: |x| > 3 Oznacza: liczba jest dalej niż 3 od zera Rozwiązanie: x < -3 lub x > 3
Praktyczne zastosowania
- Fizyka: Mierzenie przemieszczenia bez uwzględniania kierunku
- Statystyka: Obliczanie bezwzględnego odchylenia od średniej
- Programowanie: Znajdowanie bezwzględnej różnicy między dwiema wartościami
- Geometria: Mierzenie odległości w układzie współrzędnych