O MDC e o MMC são conceitos fundamentais da teoria dos números usados para simplificar frações e resolver problemas.
Definições
MDC (Máximo Divisor Comum) é o maior inteiro positivo que divide ambos os números sem resto.
MMC (Mínimo Múltiplo Comum) é o menor inteiro positivo divisível por ambos os números.
MDC(a, b) × MMC(a, b) = a × b
MMC(a, b) = (a × b) ÷ MDC(a, b)
Método 1: Fatoração em Números Primos
Exemplo: MDC e MMC de 36 e 48
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
MDC = 2² × 3¹ = 12 MMC = 2⁴ × 3² = 144
Verificação: 36 × 48 = 1.728 = 12 × 144 ✓
Método 2: Algoritmo de Euclides
Para MDC(a, b): divida a por b, substitua a por b e b pelo resto. Repita até o resto ser 0.
Exemplo: MDC(48, 18)
- 48 = 2 × 18 + 12
- 18 = 1 × 12 + 6
- 12 = 2 × 6 + 0
MDC = 6
Aplicações práticas
- Simplificar frações: 36/48 = 3/4 (dividido pelo MDC 12)
- Encontrar denominadores comuns com MMC
- Programar eventos que ocorrem em intervalos diferentes