Definiția valorii absolute
Valoarea absolută a unui număr este distanța sa față de zero pe axa numerelor, indiferent de direcție. Valoarea absolută a lui x se scrie ca |x|.
Definiție matematică:
|x| = x dacă x ≥ 0 |x| = -x dacă x < 0
Exemple de bază
Să calculăm valoarea absolută a diferitelor numere:
- |5| = 5 (numărul pozitiv rămâne el însuși)
- |-5| = 5 (numărul negativ devine pozitiv)
- |0| = 0 (zero rămâne zero)
- |-3,7| = 3,7 (funcționează și cu zecimale)
- |8 - 12| = |-4| = 4 (evaluați mai întâi interiorul)
Rezolvarea ecuațiilor cu valoare absolută
Ecuație: |x| = 7
Când valoarea absolută este egală cu un număr pozitiv, există două cazuri:
x = 7 sau x = -7
Verificare:
- |7| = 7 ✓
- |-7| = 7 ✓
Ecuație: |2x - 3| = 11
Pasul 1: Stabiliți cele două cazuri 2x - 3 = 11 sau 2x - 3 = -11
Pasul 2: Rezolvați fiecare caz
- Cazul 1: 2x = 14, deci x = 7
- Cazul 2: 2x = -8, deci x = -4
Pasul 3: Verificați
- |2(7) - 3| = |11| = 11 ✓
- |2(-4) - 3| = |-11| = 11 ✓
Inegalități cu valoare absolută
Inegalitate: |x| < 5 Înseamnă: numărul se află între -5 și 5 Soluție: -5 < x < 5
Inegalitate: |x| > 3 Înseamnă: numărul este la mai mult de 3 față de zero Soluție: x < -3 sau x > 3
Aplicații practice
- Fizică: Măsurarea deplasării fără a considera direcția
- Statistică: Calculul abaterii absolute față de medie
- Programare: Găsirea diferenței absolute dintre două valori
- Geometrie: Măsurarea distanțelor în planul de coordonate