Биномиальное распределение вероятностей отвечает на фундаментальный вопрос: если событие имеет известную вероятность успеха, какова вероятность получить ровно определённое количество успехов в фиксированном числе независимых испытаний? Это применяется в контроле качества, медицинском тестировании, подбрасывании монет и везде, где проводится фиксированное число испытаний с двумя исходами (да/нет).

Формула

Формула биномиальной вероятности вычисляет вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Где:

  • n = количество испытаний
  • k = желаемое количество успехов
  • p = вероятность успеха в каждом испытании
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — количество сочетаний

C(n,k) показывает, сколькими способами можно расположить k успехов среди n испытаний.

Разобранный Пример

Инспектор по качеству случайно отбирает 10 лампочек из партии, где известна частота дефектов 5%. Какова вероятность того, что ровно 2 лампочки бракованные?

  • n = 10 испытаний
  • k = 2 успеха (дефекты)
  • p = 0.05 (доля дефектов)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 или 7.46%

Таким образом, вероятность найти ровно 2 бракованные лампочки в этой выборке составляет 7.46%.

Связанные Вероятности

Часто нужна кумулятивная вероятность — «не более 2 дефектов» или «не менее 2 дефектов»:

  • P(X ≤ k): Сложить все вероятности от 0 до k
  • P(X ≥ k): Сложить все вероятности от k до n

При больших значениях n биномиальное распределение приближается к нормальному, поэтому вместо него часто используются z-оценки и нормальные таблицы.

Когда Применять Биномиальную Вероятность

Используйте это распределение, когда:

  • Число испытаний фиксировано
  • Каждое испытание имеет два исхода (успех/неудача, брак/норма, да/нет)
  • Вероятность успеха постоянна
  • Испытания независимы

Типичные применения: эффективность клинических испытаний препаратов, предвыборные опросы, частота дефектов в производстве и прогнозирование результатов игр.

Советы

Биномиальная формула становится вычислительно сложной при больших n — необходимы калькуляторы и статистическое программное обеспечение. Помните также, что предполагаются независимые события с постоянной вероятностью; если эти допущения нарушены, результат будет неточным.

Используйте наш калькулятор биномиальной вероятности для мгновенного вычисления вероятностей без ручных расчётов.