Определение абсолютного значения

Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой, независимо от направления. Абсолютное значение x записывается как |x|.

Математическое определение:

|x| = x если x ≥ 0 |x| = -x если x < 0

Основные примеры

Вычислим абсолютное значение различных чисел:

  1. |5| = 5 (положительное число остаётся собой)
  2. |-5| = 5 (отрицательное число становится положительным)
  3. |0| = 0 (ноль остаётся нулём)
  4. |-3,7| = 3,7 (работает и с десятичными дробями)
  5. |8 - 12| = |-4| = 4 (сначала вычисляем внутреннее)

Решение уравнений с абсолютным значением

Уравнение: |x| = 7

Когда абсолютное значение равно положительному числу, есть два случая:

x = 7 или x = -7

Проверка:

  • |7| = 7 ✓
  • |-7| = 7 ✓

Уравнение: |2x - 3| = 11

Шаг 1: Рассмотрите два случая 2x - 3 = 11 или 2x - 3 = -11

Шаг 2: Решите каждый случай

  • Случай 1: 2x = 14, следовательно x = 7
  • Случай 2: 2x = -8, следовательно x = -4

Шаг 3: Проверьте

  • |2(7) - 3| = |11| = 11 ✓
  • |2(-4) - 3| = |-11| = 11 ✓

Неравенства с абсолютным значением

Неравенство: |x| < 5 Означает: число находится между -5 и 5 Решение: -5 < x < 5

Неравенство: |x| > 3 Означает: число удалено от нуля более чем на 3 Решение: x < -3 или x > 3

Практические применения

  • Физика: Измерение перемещения без учёта направления
  • Статистика: Вычисление абсолютного отклонения от среднего
  • Программирование: Нахождение абсолютной разности двух значений
  • Геометрия: Измерение расстояний на координатной плоскости