НОД и НОК — фундаментальные концепции теории чисел, используемые для упрощения дробей и решения задач.

Определения

НОД (Наибольший Общий Делитель) — наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка.

НОК (Наименьшее Общее Кратное) — наименьшее положительное целое число, кратное обоим числам.

НОД(a, b) × НОК(a, b) = a × b
НОК(a, b) = (a × b) ÷ НОД(a, b)

Метод 1: Разложение на простые множители

Пример: НОД и НОК чисел 36 и 48

  • 36 = 2² × 3²
  • 48 = 2⁴ × 3

НОД = 2² × 3¹ = 12 НОК = 2⁴ × 3² = 144

Проверка: 36 × 48 = 1728 = 12 × 144 ✓

Метод 2: Алгоритм Евклида

Для НОД(a, b): разделите a на b, замените a на b, а b на остаток. Повторяйте до нулевого остатка.

Пример: НОД(48, 18)

  • 48 = 2 × 18 + 12
  • 18 = 1 × 12 + 6
  • 12 = 2 × 6 + 0

НОД = 6

Практические применения

  • Сокращение дробей: 36/48 = 3/4 (делим на НОД 12)
  • Нахождение общих знаменателей с НОК
  • Планирование событий с разными интервалами