Перестановки и сочетания — это техники подсчёта, определяющие количество способов выбрать или расположить элементы из множества. Ключевое различие: перестановки учитывают порядок; сочетания — нет.
Формулы
Перестановки (порядок важен):
nPr = n\! / (n − r)\!
Сочетания (порядок не важен):
nCr = n\! / [r\! × (n − r)\!]
Где n = общее число элементов, r = выбранные элементы, ! = факториал.
Примеры шаг за шагом
Пример перестановки
Сколькими способами можно разместить 3 ученика на 3 местах из класса в 10 человек?
nPr = 10! / (10 − 3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 способов
Пример сочетания
Сколькими способами можно выбрать 3 ученика в комитет из 10 (порядок не важен)?
nCr = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120 способов
Комитет имеет в 6 раз меньше возможностей, чем рассадка — потому что в комитете {Алиса, Боб, Кэрол} — то же самое, что {Кэрол, Боб, Алиса}.
Когда что использовать
| Сценарий | Метод |
|---|---|
| Топ-3 в гонке | Перестановка |
| Выбор команды из 4 | Сочетание |
| PIN-коды | Перестановка |
| Лотерейные числа | Сочетание |
| Пароль (алфавитный) | Перестановка |
Быстрый подсчёт факториала
n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 1 0! = 1 (по определению) 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Используйте наш калькулятор перестановок и сочетаний для любых n и r.