Binomialfördelningen svarar på en grundläggande fråga: om en händelse har en känd sannolikhet för framgång, hur stor är sannolikheten att få exakt ett visst antal framgångar i ett fast antal oberoende försök? Detta gäller kvalitetskontroll, medicinsk testning, myntkast och överallt där ett fast antal ja/nej-försök äger rum.

Formeln

Formeln för binomialfördelning beräknar sannolikheten för exakt k framgångar i n oberoende försök:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Där:

  • n = antal försök
  • k = önskat antal framgångar
  • p = sannolikhet för framgång i varje försök
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — antal kombinationer

C(n,k) anger på hur många sätt du kan ordna k framgångar bland n försök.

Löst Exempel

En kvalitetsinspektör tar ett slumpmässigt urval av 10 glödlampor från en batch som är känd för att ha 5 % felfrekvens. Hur stor är sannolikheten att exakt 2 lampor är defekta?

  • n = 10 försök
  • k = 2 framgångar (defekter)
  • p = 0.05 (felfrekvens)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 eller 7,46 %

Det finns alltså 7,46 % sannolikhet att hitta exakt 2 defekta lampor i det urvalet.

Relaterade Sannolikheter

Ofta vill du ha den kumulativa sannolikheten — "högst 2 defekter" eller "minst 2 defekter":

  • P(X ≤ k): Summera alla sannolikheter från 0 till k
  • P(X ≥ k): Summera alla sannolikheter från k till n

För stort n approximerar binomialfördelningen normalfördelningen, varför z-värden och normaltabeller ofta används istället.

När du Ska Använda Binomialsannolikhet

Använd denna fördelning när:

  • Du har ett fast antal försök
  • Varje försök har två utfall (framgång/misslyckande, defekt/bra, ja/nej)
  • Sannolikheten för framgång är konstant
  • Försöken är oberoende

Vanliga tillämpningar inkluderar effektivitet av läkemedelsstudier, valundersökningar, defektfrekvenser vid tillverkning och spelresultatsprognoser.

Tips

Binomialformeln blir beräkningsmässigt tung för stort n — kalkylatorer och statistisk programvara är nödvändiga. Kom också ihåg att detta antar oberoende händelser med konstant sannolikhet; om dessa antaganden brister blir resultatet inexakt.

Använd vår binomialsannolikhetskalkylator för att beräkna sannolikheter direkt utan manuell beräkning.