Hoán vị và tổ hợp là các kỹ thuật đếm xác định có bao nhiêu cách chọn hoặc sắp xếp các phần tử từ một tập hợp. Phân biệt chính: hoán vị quan tâm đến thứ tự; tổ hợp thì không.
Công thức
Hoán vị (thứ tự quan trọng):
nPr = n\! / (n − r)\!
Tổ hợp (thứ tự không quan trọng):
nCr = n\! / [r\! × (n − r)\!]
n = tổng số phần tử, r = phần tử được chọn, ! = giai thừa.
Ví dụ từng bước
Ví dụ hoán vị
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 học sinh vào 3 chỗ ngồi từ lớp 10 người?
nPr = 10! / (10 − 3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720 cách
Ví dụ tổ hợp
Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh vào ban từ 10 người (thứ tự không quan trọng)?
nCr = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120 cách
Ban có ít khả năng hơn sơ đồ chỗ ngồi 6 lần — vì với ban, {Alice, Bob, Carol} giống với {Carol, Bob, Alice}.
Khi nào dùng cái nào
| Tình huống | Phương pháp |
|---|---|
| 3 người đầu tiên trong cuộc đua | Hoán vị |
| Chọn nhóm 4 người | Tổ hợp |
| Mã PIN | Hoán vị |
| Số xổ số | Tổ hợp |
| Mật khẩu (theo bảng chữ cái) | Hoán vị |
Công thức tính giai thừa nhanh
n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 1 0! = 1 (theo định nghĩa) 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Dùng máy tính hoán vị và tổ hợp của chúng tôi cho bất kỳ n và r nào.