二项概率分布回答一个基本问题：如果一个事件有已知的成功概率，在固定次数的独立试验中恰好得到特定数量成功的概率是多少？这适用于质量控制、医学测试、抛硬币，以及任何发生固定次数是/否试验的场景。

公式

二项概率公式计算在n次独立试验中恰好k次成功的概率：

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

其中：

  • n = 试验次数
  • k = 期望成功次数
  • p = 每次试验的成功概率
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — 组合数

C(n,k) 表示在n次试验中排列k次成功的方式数。

解题示例

质量检验员从已知缺陷率为5%的批次中随机抽取10个灯泡。恰好2个灯泡有缺陷的概率是多少？

  • n = 10次试验
  • k = 2次成功（缺陷）
  • p = 0.05（缺陷率）
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746，即 7.46%

在该样品中恰好发现2个缺陷灯泡的概率为7.46%。

相关概率

通常需要累积概率——"最多2个缺陷"或"至少2个缺陷"：

  • P(X ≤ k)： 对0到k的所有概率求和
  • P(X ≥ k)： 对k到n的所有概率求和

对于较大的n，二项分布近似正态分布，因此常常使用z值和正态分布表。

何时使用二项概率

在以下情况使用此分布：

  • 有固定次数的试验
  • 每次试验有两种结果（成功/失败、缺陷/良品、是/否）
  • 成功概率为常数
  • 试验相互独立

常见应用包括药物试验有效性、选举民调、制造缺陷率和游戏结果预测。

提示

对于较大的n，二项公式在计算上较为繁重——计算器和统计软件不可或缺。还需记住，该公式假设独立事件且概率恒定；若这些假设不成立，结果将不准确。

使用我们的二项概率计算器，无需手动计算即可即时求解概率。