શ્વાર્ઝચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા: બ્લેક હોલ કેટલું મોટું છે? ઘટના ક્ષિતિજની ગણતરી કરો

કાર્લ શ્વાર્ઝચાઇલ્ડે 1916 માં - પ્રથમ વિશ્વયુદ્ધમાં રશિયન મોરચે સેવા આપતી વખતે - સંપૂર્ણ ગોળાકાર, બિન-ફરતી સમૂહના વિશિષ્ટ કેસ માટે આઈન્સ્ટાઈનના ક્ષેત્ર સમીકરણોને હલ કરીને - તેમની પ્રખ્યાત ત્રિજ્યા પ્રાપ્ત કરી. પરિણામ એ એક આગાહી હતી જે તે સમયે વાહિયાત લાગતી હતી: ચોક્કસ ત્રિજ્યાની નીચે કોઈપણ પદાર્થને સંકુચિત કરો, અને પ્રકાશ પણ બહાર નીકળી શકશે નહીં. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને એ સ્વીકારવામાં દાયકાઓ લાગ્યા કે આ "બ્લેક હોલ" વાસ્તવિક વસ્તુઓ છે, ગાણિતિક જિજ્ઞાસાઓ નથી. આજે આપણી પાસે તેમની સીધી છબીઓ છે, તેમની અથડામણમાંથી ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોની શોધ, અને પુષ્ટિ છે કે લગભગ દરેક મોટી આકાશગંગાના કેન્દ્રમાં એક બેસે છે.

શ્વાર્ઝચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા શું છે?

શ્વાર્ઝચાઈલ્ડ ત્રિજ્યા એ નિર્ણાયક ત્રિજ્યા છે કે જેના પર કોઈ પદાર્થનો એસ્કેપ વેગ પ્રકાશની ગતિ સમાન હોય છે. આ ત્રિજ્યાની નીચે સંકુચિત કોઈપણ પદાર્થ માટે, એસ્કેપ વેગ પ્રકાશની ગતિ કરતાં વધી જાય છે, જેનો અર્થ થાય છે કશું જ નહીં — પ્રકાશ નહીં, માહિતી નહીં, કંઈ નહીં — એકવાર તે આ સીમાને પાર કરે પછી છટકી શકે નહીં. આ સીમાને ઘટના ક્ષિતિજ કહેવાય છે.

નોન-રોટેટીંગ બ્લેક હોલ (શ્વાર્ઝચાઈલ્ડ બ્લેક હોલ) માટે, ઘટના ક્ષિતિજ એ r_s ત્રિજ્યા સાથેનો સંપૂર્ણ ગોળો છે. ફરતા બ્લેક હોલ (કેર બ્લેક હોલ)માં ઘટનાની ક્ષિતિજ ઓબ્લેટ હોય છે, પરંતુ શ્વાર્ઝચાઈલ્ડ ત્રિજ્યા મોટાભાગના વૈચારિક હેતુઓ માટે ઉપયોગી અંદાજ રહે છે.

ઘટના ક્ષિતિજ એ ભૌતિક સપાટી નથી. ત્યાં કોઈ દિવાલ નથી, કોઈ અવરોધ નથી જેને તમે સ્પર્શ કરી શકો. અવકાશ સમયની ભૂમિતિ એવી રીતે બને છે કે તમામ ભાવિ માર્ગો એકલતા તરફ અંદરની તરફ લઈ જાય છે.

ફોર્મ્યુલા: r = 2GM/c²

શ્વાર્ઝચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા સૂત્ર છે:

r_s = 2GM / c²

ક્યાં:

• r_s = મીટરમાં શ્વાર્ઝચીલ્ડ ત્રિજ્યા
• G = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિરાંક = 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
• M = કિલોગ્રામમાં પદાર્થનું દળ
• c = પ્રકાશની ગતિ = 2.998 × 10⁸ m/s (c² = 8.988 × 10¹⁶ m²/s²)

સરળીકૃત: 2G/c² = 1.485 × 10⁻²⁷ m/kg થી, ફોર્મ્યુલા આના સુધી ઘટાડે છે:

r_s (meters) = 1.485 × 10⁻²⁷ × M (kg)

કાર્ય કરેલ ઉદાહરણ — સૂર્યના શ્વાર્ઝચાઈલ્ડ ત્રિજ્યાની ગણતરી:

Mass of Sun = 1.989 × 10³⁰ kg
r_s = 2 × (6.674 × 10⁻¹¹) × (1.989 × 10³⁰) / (8.988 × 10¹⁶)
r_s = (2 × 6.674 × 1.989 × 10¹⁹) / (8.988 × 10¹⁶)
r_s = 2.654 × 10²⁰ / 8.988 × 10¹⁶
r_s ≈ 2,953 meters ≈ 2.95 km

696,000 કિમીની ત્રિજ્યા ધરાવતા સૂર્યને બ્લેક હોલ બનવા માટે 3 કિમીથી ઓછા ગોળામાં સંકુચિત કરવાની જરૂર પડશે. સૂર્ય આ ક્યારેય કરશે નહીં - તેમાં સમૂહનો અભાવ છે. માત્ર તારાઓ જ સૂર્યના દળના આશરે 20+ ગણા તેમના જીવનનો અંત કોર કોલેપ્સ સુપરનોવામાં કરે છે જે બ્લેક હોલ પેદા કરે છે.

બ્લેક હોલનું કદ: પૃથ્વી વિ સૂર્ય વિ સુપરમાસીવ

શ્વાર્ઝચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા સમૂહ સાથે રેખીય રીતે માપે છે. સમૂહને બમણો કરો, ત્રિજ્યાને બમણો કરો. આનાથી સુપરમાસિવ બ્લેક હોલ પ્રચંડ ઘટના ક્ષિતિજ ધરાવે છે જ્યારે તારાઓની બ્લેક હોલ કોમ્પેક્ટ રહે છે.

Object	Mass	Schwarzschild Radius	Context
Moon	7.35 × 10²² kg	0.109 mm	Smaller than a grain of sand
Earth	5.972 × 10²⁴ kg	8.87 mm	About the size of a marble
Sun	1.989 × 10³⁰ kg	~2.95 km	Fits inside a city
Typical stellar black hole (10 M☉)	1.989 × 10³¹ kg	~29.5 km	Diameter of a small city
Cygnus X-1 (21 M☉)	~4.2 × 10³¹ kg	~62 km	—
Sagittarius A* (Milky Way center, 4M M☉)	~7.96 × 10³⁶ kg	~11.8 million km	Larger than the Sun's actual radius
M87* (first imaged black hole, 6.5B M☉)	~1.3 × 10⁴⁰ kg	~19.2 billion km	Larger than our solar system

M87 ના કેન્દ્રમાં આવેલ સુપરમાસીવ બ્લેક હોલનો ઘટના ક્ષિતિજ વ્યાસ સૂર્યથી નેપ્ચ્યુન (લગભગ 30 AU) સુધીના અંતર કરતાં મોટો છે. છતાં આ આશ્ચર્યજનક કદ હોવા છતાં, ઘટના ક્ષિતિજની અંદરની સરેરાશ ઘનતા વાસ્તવમાં પાણી કરતાં ઓછી છે - તે દર્શાવે છે કે ઘનતા એ બ્લેક હોલને વ્યાખ્યાયિત કરતી નથી, ત્રિજ્યાની તુલનામાં સામૂહિક સાંદ્રતા છે.

ઇવેન્ટ હોરાઇઝન પર શું થાય છે

ઘટના ક્ષિતિજ પર, અવકાશ સમયની ભૂમિતિ બાહ્ય નિરીક્ષકો માટે ગંભીર સ્થિતિમાં પહોંચે છે. કેટલીક પ્રતિસ્પર્ધી ઘટનાઓ થાય છે:

સમયનું વિસ્તરણ આત્યંતિક બની જાય છે. જેમ જેમ કોઈ પદાર્થ બ્લેક હોલ તરફ આવે છે તેમ, દૂરના નિરીક્ષકને તે ઘટનાની ક્ષિતિજની નજીક આવતાની સાથે ધીમે ધીમે આગળ વધતું જુએ છે. પડતી વસ્તુ ધીમી, લાલ શિફ્ટ અને અસ્પષ્ટપણે પહોંચતી દેખાય છે પરંતુ ઘટના ક્ષિતિજ સુધી ક્યારેય પહોંચી શકતી નથી. દૂરના નિરીક્ષકના પરિપ્રેક્ષ્યમાં, ઑબ્જેક્ટ અસરકારક રીતે ઘટના ક્ષિતિજ પર કાયમ માટે થીજી જાય છે (જોકે તે અદૃશ્યતામાં ઝાંખું થઈ જાય છે કારણ કે તેનો પ્રકાશ અનંત રીતે લાલ થઈ જાય છે).

પડતી વસ્તુના પરિપ્રેક્ષ્યમાં: ઘટનાની ક્ષિતિજ પર કોઈ સ્થાનિક વિચિત્રતા જોવા મળતી નથી — કોઈ નાટકીય ભૌતિક સંવેદના ક્રોસિંગને ચિહ્નિત કરતી નથી. અવિરત નિરીક્ષક મર્યાદિત યોગ્ય સમયમાં ઘટના ક્ષિતિજને પાર કરે છે અને અંદરની તરફ ચાલુ રહે છે. જો કે, એકલતા ભવિષ્યના પ્રકાશ શંકુમાં રહેલી છે અને તે અનિવાર્ય છે.

હોકિંગ રેડિયેશન: સ્ટીફન હોકિંગે 1974માં આગાહી કરી હતી કે ઘટના ક્ષિતિજની નજીકની ક્વોન્ટમ અસરો બ્લેક હોલને ધીરે ધીરે ઉર્જા ફેલાવે છે. તારાઓની માસ બ્લેક હોલ માટે, આ રેડિયેશન એટલું નબળું છે કે તે શોધી શકાતું નથી - તાપમાન કેલ્વિનનો એક નાનો અંશ છે. હોકિંગ રેડિયેશન માત્ર માઇક્રો-બ્લેક હોલ માટે જ નોંધપાત્ર છે, જે લગભગ તરત જ બાષ્પીભવન થઈ જશે.

સ્પેગેટિફિકેશન: ધ ટાઇડલ ફોર્સ પ્રોબ્લેમ

ભરતી દળો - પદાર્થની લંબાઇમાં ગુરુત્વાકર્ષણના ખેંચાણમાં તફાવત - બ્લેક હોલની નજીકના પદાર્થને તોડી શકે છે. આ પ્રક્રિયાને સ્પેગેટિફિકેશન કહેવામાં આવે છે: પડતી વસ્તુ લંબાઈની દિશામાં ખેંચાય છે અને બાજુમાં સંકુચિત થાય છે.

દ્રવ્ય M ના બ્લેક હોલથી r ના અંતરે લંબાઈ L ના પદાર્થ પર ભરતી બળ આશરે છે:

Tidal force ≈ 2GM × L / r³

તારાઓની બ્લેક હોલ માટે (M = 10 × સૂર્યનું દળ, r = 100 km, L = 2 m માનવ શરીર માટે):

Tidal force = 2 × (6.674 × 10⁻¹¹) × (1.989 × 10³¹) × 2 / (10⁵)³
Tidal force ≈ 5.3 × 10⁷ N per kilogram of body mass

આ શરીરની માળખાકીય શક્તિ કરતાં લાખો ગણી વધારે છે — સંપૂર્ણ વિઘટન તારાકીય બ્લેક હોલની ઘટના ક્ષિતિજની બહાર સારી રીતે થશે.

રસપ્રદ વાત એ છે કે, ધનુરાશિ A* જેવા સુપરમાસીવ બ્લેક હોલ માટે, ઘટના ક્ષિતિજ પર ભરતી બળો ખૂબ નબળા છે કારણ કે ઘટના ક્ષિતિજ એકલતાથી ઘણું દૂર છે. માનવી, સૈદ્ધાંતિક રીતે, તુરંત જ સ્પાઘેટ્ટીફાઇડ થયા વિના, પર્યાપ્ત મોટા બ્લેક હોલની ઘટના ક્ષિતિજને પાર કરી શકે છે - જોકે ક્ષિતિજની બહારનું પરિણામ એ જ રહે છે.

શું પૃથ્વી બ્લેક હોલ બની શકે છે?

સૈદ્ધાંતિક રીતે, જો પૂરતા પ્રમાણમાં સંકુચિત કરવામાં આવે તો કોઈપણ જથ્થો બ્લેક હોલ બની શકે છે. પૃથ્વીની શ્વાર્ઝશિલ્ડ ત્રિજ્યા 8.87 મિલીમીટર છે - એક આરસના કદનો ગોળો. જો પૃથ્��ીના તમામ સમૂહને આરસમાં સંકુચિત કરવામાં આવે, તો તે બ્લેક હોલની રચના કરશે.

વ્યવહારમાં, આ સંકોચન હાંસલ કરવા માટે પદાર્થના જ બાહ્ય દબાણને દૂર કરવાની જરૂર છે. પૃથ્વીનું આંતરિક દબાણ પ્રચંડ છે — કેન્દ્રમાં આશરે 360 GPa — પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણના પતન માટે જે જરૂરી છે તેનાથી ઘણું ઓછું છે. બ્લેક હોલની ઘનતા માટે સ્વ-સંકોચન માટે જરૂરી ગુરુત્વાકર્ષણ પેદા કરવા માટે પૃથ્વી પાસે સમૂહનો અભાવ છે.

બ્લેક હોલ કુદરતી રીતે રચાય તે માટે, તારાઓની કોરમાં સુપરનોવા પછી લગભગ 2-3 સૌર દળથી ઉપરનું દળ હોવું આવશ્યક છે. આ થ્રેશોલ્ડની નીચે (ટોલમેન-ઓપેનહેઇમર-વોલ્કોફ મર્યાદા), પદાર્થનું ન્યુટ્રોન ડિજનરેસી દબાણ પતન અટકાવે છે, જે બ્લેક હોલને બદલે ન્યુટ્રોન સ્ટાર બનાવે છે.

એવી કોઈ કુદરતી પદ્ધતિ નથી કે જેના દ્વારા પૃથ્વી બ્લેક હોલ બની શકે. 8.87 મીમી સુધીના કૃત્રિમ સંકોચન માટે કોઈપણ કલ્પી શકાય તેવી ટેક્નોલોજીની બહારની તીવ્રતાના ઘણા ઓર્ડરની ઊર્જા ઇનપુટ્સની જરૂર પડશે. કુદરતમાં સૌથી નજીકની સામ્યતા ન્યુટ્રોન સ્ટારની રચના છે - જ્યાં ~1.4–2.5 સૌર સમૂહનો તારાકીય કોર લગભગ 10-15 કિમી ત્રિજ્યામાં તૂટી પડે છે તેવી પરિસ્થિતિમાં પૃથ્વી ક્યારેય પહોંચી શકતી નથી.

આ ખ્યાલ સમજાવે છે કે શા માટે શ્વાર્ઝચાઇલ્ડ ત્રિજ્યા આટલી મૂળભૂત છે: તે દર્શાવે છે કે "બ્લેક હોલ" એ પદાર્થની વિશિષ્ટ વિદેશી સ્થિતિ નથી પરંતુ જ્યારે દળ પૂરતું કેન્દ્રિત હોય ત્યારે શું થાય છે. ઘટના ક્ષિતિજ અવકાશ સમયની ભૂમિતિમાંથી ઉદ્ભવે છે, કોઈ ચોક્કસ વિદેશી પદાર્થમાંથી નહીં.