Binom olasılık dağılımı temel bir soruyu yanıtlar: bir olayın bilinen bir başarı olasılığı varsa, sabit sayıda bağımsız denemede tam olarak belirli sayıda başarı elde etme olasılığı nedir? Bu kalite kontrol, tıbbi testler, para atma ve evet/hayır denemelerinin sabit sayıda gerçekleştiği her yerde uygulanır.

Formül

Binom olasılık formülü, n bağımsız denemede tam olarak k başarı olasılığını hesaplar:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Burada:

  • n = deneme sayısı
  • k = istenen başarı sayısı
  • p = her denemede başarı olasılığı
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — kombinasyon sayısı

C(n,k), n deneme içinde k başarının kaç farklı şekilde düzenlenebileceğini gösterir.

Çözümlü Örnek

Kalite denetçisi, %5 hata oranına sahip olduğu bilinen bir partiden 10 ampulü rastgele örnekliyor. Tam olarak 2 ampulün hatalı olma olasılığı nedir?

  • n = 10 deneme
  • k = 2 başarı (hata)
  • p = 0.05 (hata oranı)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 veya %7.46

Bu örnekte tam olarak 2 hatalı ampul bulma olasılığı %7.46'dır.

İlgili Olasılıklar

Genellikle kümülatif olasılığa ihtiyaç duyarsınız — "en fazla 2 hata" veya "en az 2 hata":

  • P(X ≤ k): 0'dan k'ya kadar tüm olasılıkları toplayın
  • P(X ≥ k): k'dan n'ye kadar tüm olasılıkları toplayın

Büyük n için binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır, bu yüzden bunun yerine z-puanları ve normal tablolar kullanılır.

Binom Olasılığı Ne Zaman Kullanılır

Bu dağılımı şu durumlarda kullanın:

  • Sabit sayıda denemeniz var
  • Her denemenin iki sonucu var (başarı/başarısızlık, hatalı/iyi, evet/hayır)
  • Başarı olasılığı sabit
  • Denemeler bağımsız

Yaygın uygulamalar ilaç denemeleri etkinliği, seçim anketleri, üretim hata oranları ve oyun sonucu tahminlerini kapsar.

İpuçları

Binom formülü büyük n için hesaplama açısından ağır hale gelir — hesap makineleri ve istatistik yazılımları şarttır. Ayrıca bu formülün sabit olasılıkla bağımsız olaylar varsayımına dayandığını unutmayın; bu varsayımlar bozulursa sonuç yanlış olacaktır.

Manuel hesaplama yapmadan anında olasılıkları hesaplamak için binom olasılık hesaplayıcımızı kullanın.